17 сентября стартовал воркшоп по функциональному анализу и нестандартным методам анализа, посвященный 75-юбилею известного математика, специалиста в области нестандартного анализа, теоретико-множественной топологии, математического анализа и его приложений, основателя нового направления в функциональном анализе, названного «Булевозначным анализом», доктора физико-математических наук, профессора Евгения Израилевича Гордона.
Данный Воркшоп стал вторым в 2024 году из серии воркшопов проекта OTDE-Workshop – научные сессии по теории операторов, дифференциальным уравнениям и их приложениям. Организаторами мероприятия выступили Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН (Лаборатория функционального анализа) и Владикавказский научный центр РАН (Южный математический институт; Северо-Кавказский центр математических исследований).
В программу Воркшопа вошли доклады известных российских и зарубежных специалистов в области нестандартного анализа, функционального анализа, математического анализа и их приложений. Воркшоп, посвященный 75-летию Евгения Израилевича Гордона, собрал коллег, учеников и друзей ученого. В их число вошли: д.ф.-м.н., профессор Гутман Александр Ефимович (ИМ СО РАН; Новосибирск, Россия); к.ф.-м.н. Гутнова Алина Казбековна (СОГУ; Владикавказ, Россия); prof. RNDr., PhD Златош Павел (Университет им. Я. А. Коменского; Братислава, Словакия); д.ф.-м.н. Емельянов Эдуард Юрьевич (ИМ СО РАН; Новосибирск, Россия); д.ф.-м.н., профессор Кусраев Анатолий Георгиевич (ЮМИ ВНЦ РАН; Владикавказ); д.ф.-м.н., профессор Кутателадзе Семён Самсонович (ИМ СО РАН; Новосибирск, Россия); к.ф.-м.н. Плиев Марат Амурханович (ЮМИ ВНЦ РАН; Владикавказ, Россия). Участники воркшопа делились своими воспоминаниями о многолетней дружбе и сотрудничестве с Евгением Израилевичем Гордоном. Основное внимание было уделено достижениям юбиляра, его научным идеям и их влиянию на развитие математической науки. Участники подчеркнули значительный вклад Е.И. Гордона в теорию упорядоченных пространств и гармонический анализ, обсудили диссертационное исследование юбиляра, которое, далеком уже, 1991 года, которая стало важным этапом в его научной карьере.
А все началось в 1977 году, когда Евгений Гордон, в то время молодой преподаватель Нижегородского государственного университета им. Лобачевского, опубликовал короткую заметку в докладах АН СССР, основной результат которой утверждает, что поле вещественных чисел в булевозначной модели теории множеств – есть суть пространство Канторовича. Этот результат стал мостом между булевозначными моделями теории множеств и обширной областью функционального анализа, обозначаемой терминами «Полуупорядоченные векторные пространства», «Банаховы решетки», «Positivity» и т.п.
В том же году на симпозиуме по приложениям теории пучков к логике и алгебре и анализу Гаиси Такеути – известный эксперт в области теории доказательства – показал в своей лекции, что коммутативная алгебра неограниченных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве (служащая примером пространства Канторовича) – еще одна интерпретация поля действительных чисел в подходящей булевозначной модели теории множеств.
Вот как эти годы вспоминает д.ф.-м.н., профессор Семен Самсонович Кутателадзе.
– Знакомство Анатолия Георгиевича Кусраева и моё с Евгением Израилевичем состоялось в 1977 г. и стало точка бифуркации наших мировых линий, – начал он. – Мы вступили в реку нестандартных методов анализа. Процесс этот был непростой, но необратимый. Началось все с овладением методов булевозначных моделей теории множеств. Отечественных математиков знакомил с этими методами Юрий Иванович Манин. Мне довелось быть на заседании Московского математического общества в МГУ в середине 1970-х годов. Народу было как селёдок в бочке — многие, в том числе и я, слушали доклад Манина о решении проблемы континуума, стоя. Я тогда ничего не понял. При этом я видел в первых рядах Новикова и Арнольда и думал: ну я-то дурак, а настоящие математики всё, наверно, понимают (теперь мы знаем, что далеко не все настоящие математики про булевозначные модели хоть что-то понимают).
Доклад Евгения Израилевича на нашем семинаре в Новосибирске показал, что заниматься пространствами Канторовича, не зная булевозначных моделей, нельзя. Со временем пришло и понимание значения нестандартных моделей как революционного шага в будущее математики, связанное с отказом от иллюзий категоричности и универсальности аксиоматического метода.
Курт Гёдель писал об анализе будущего, упоминая нестандартный анализ Абрахама Робинсона. Есть достаточные причины видеть в этом предсказании более значительные и глубокие соображения. Цель науки — сделать сложное простым. К этой цели ведёт расщепление явления или проблемы на обозримые части, составляющие общую суть анализа. Синтез связан с приложением фрагментированых знаний и умений к возникшей из практики проблемы. Анализ будущего лишён шор канонизации той или иной аксиоматической теории или методологии, свободен от мистицизма и примитивных атак на бесконечность.
Евгений Израилевич стал для нас пришельцем из будущего — шерпом новой математики, которую человечество ещё только создаёт, – завершил речь С.С. Кутателадзе.
Говоря о теореме Гордона и ее влиянии на дальнейшее развитие анализа, руководитель ЮМИ ВНЦ РАН д.ф.-м.н, профессор Анатолий Георгиевич Кусраев, подобно американскому астронавту Нилу Армстронгу, который впервые ступив на поверхность луны, произнес: «Это один маленький шаг для человека, но гигантский скачок для человечества», сравнил ее с гигантским шагом вперед в математическом анализе.
– Когда-то давно я заметил у Семена Самсоновича (Кутателадзе) такой методический прием: оценивая свои и чужие достижения, сравнивать их не с чем-то обыденным и повседневным, а с высшими достижениями человечества. Мне эта идея понравилась. «Это с одной стороны учит скромности, с другой – мотивирует на новые достижения», - говорит А.Г. Кусраев. – Так вот говоря о двух этих событиях – высадке на луну и теореме Гордона – я хочу сказать, что это явления одной природы. Действительно, как сказал Семен Самсонович, мы с Женей (Е.И. Гордон) познакомились 47 лет тому назад. Мне довелось наблюдать его в разные периоды жизни: были моменты успеха и неудачи, радости и печали, воодушевления и разочарования, но неизменным оставалось его внутреннее благородство. Из многих его человеческих достоинств мне наиболее характерным представляется редкий сплав интеллигентности и душевности. За открытым, мягким, миролюбивым и доброжелательным характером Евгения Израилевича таится стальная твердость и умение оставаться самим собой в быстро (и порой трагически быстро) меняющемся мире.
Профессор Кусраев выразил благодарность юбиляру за многолетнюю дружбу и поддержку, подчеркнув важность сотрудничества в научной деятельности.
Во вступительной части воркшопа прозвучало еще много теплых слов в адрес юбиляра от коллег и давних друзей. – Я очень смущен, - признался в ответ Евгений Израилевич.
– Я с удовлетворением вспоминаю прошедшие годы и надеюсь, что несмотря на всякие трудности и расстояния, мы, так или иначе, будем продолжать наше близкое общение. У меня есть идеи, которые мне хотелось бы с вами обсудить. Но главное, чтобы мы все были живы и здоровы.
В первый день воркшопа состоялось два доклада. Первый – это совместный доклад д.ф.-м.н., профессора Кутателадзе Семёна Самсоновича и д.ф.-м.н., профессора Кусраева Анатолия Георгиевича - «Теорема Гордона: некоторые алгебраические аспекты булевозначного анализа». В докладе был представлен краткий обзор истоков и смысла булевозначного анализа. Краеугольная теорема Гордона была проиллюстрирована двумя простыми алгебраическими приложениями.
Второй доклад был представлен профессором Златошем (Pavol Zlatoš). Тема его выступления - «Двойственность Понтрягина-ван Калена и преобразование Фурье в терминах гиперплоскостей». Используя идеи Е.И. Гордона, он представил подход, основанный на нестандартном анализе, к одновременному приближению локально компактных абелевых групп и их двойственных конечными абелевыми группами, а также к приближению преобразований Фурье на различных функциональных пространствах над ними посредством дискретных преобразований Фурье.
Впереди еще два дня работы воркшопа по функциональному анализу и нестандартным методам анализа, посвященный юбилею д.ф.-м.н., профессора Е. И. Гордона. А завершится мероприятие 19 сентября.