В качестве спортсмена он завоевал бронзовую медаль Игр XVII Олимпиады 1960 года в г. Рим (Италия) в гонках на треке (дисциплина гит на 1000 м). Был первым советским рекордсменом мира в велоспорте в данном виде программы, улучшал рекорд мира 15 (!) раз. 16 раз побеждал на чемпионатах СССР, был 20-кратным рекордсменом СССР по велосипедному спорту. В 1960 году Ростиславу Варгашкину было присвоено звание «Заслуженный мастер спорта СССР».
После окончания спортивной карьеры работал тренером, в том числе с 1966 по 1978 годы — главным тренером сборной СССР по велосипедному спорту (трек). Подготовил Олимпийских чемпионов Игр XXI Олимпиады 1972 года в г. Мюнхен (ФРГ) И.Целовальникова и В.Семенца, призеров Игр И.Бодниекса, В.Логунова и О.Пхакадзе, чемпиона мира Э.Раппа, призеров чемпионатов мира С.Кравцова и А.Яблуновского. В 1965 году стал Заслуженным тренером СССР.
С 1989 по 1996 годы возглавлял Союз велосипедистов России, входил в руководящие органы Международного и Европейского союзов велосипедистов.
С 1997 по 2010 годы Ростислав Евгеньевич работал в Олимпийском комитете России. Внес большой вклад в совершенствование системы информационно-аналитического обеспечения, приняв участие в разработке баз данных результатов российских спортсменов на международных соревнованиях, для чего освоил программы Access и FoxPro.
Олимпийский комитет России желает Ростиславу Евгеньевичу Варгашкину крепкого здоровья, долгих лет жизни, новых побед и свершений!