Геометрия показала, что Земля построена из множества кубов

Исследование в области чистой математики привело к созданию обширной теории о том, как устроен мир.

В мягкий осенний день 2016 года венгерский математик Габор Домокош появился на пороге дома геофизика Дугласа Джеролмака в Филадельфии. Домокош вез с собой чемоданы, простуду и большую тайну.

Они шли по гравийной площадке за домом, где жена Джеролмака держала тележку с тако. Их ноги хрустели по известняковому щебню. Домокос указал вниз.

"Сколько граней у каждого из этих кусков гравия?" - спросил он. Затем он усмехнулся. "А что, если я скажу, что это число всегда где-то около шести?". Затем он задал более серьезный вопрос, который, как он надеялся, проникнет в мозг его коллеги.

Что, если мир состоит из кубов?

Сначала Джеролмак возразил. Дома можно строить из кирпичей, но Земля состоит из камней. Очевидно, что камни бывают разные. Слюда расслаивается на листы; кристаллы трескаются по четко определенным осям.

Но только с точки зрения математики, утверждал Домокос, любые камни, которые ломаются случайным образом, расколются в формы, имеющие в среднем шесть граней и восемь вершин.

Если рассматривать их вместе, то все они будут представлять собой формы, сходящиеся к некоему идеальному кубу. Домокос доказал это математически, сказал он. Теперь ему нужна помощь Джеролмака, чтобы показать, что именно так поступает природа.

"Это была геометрия с точным предсказанием, которое подтвердилось в мире природы, без участия физики", - сказал Джеролмак, профессор Пенсильванского университета. "Как, черт возьми, природа позволяет этому происходить?".

В течение следующих нескольких лет пара преследовала свое геометрическое видение от микроскопических фрагментов до скальных обнажений, планетарных поверхностей и даже до "Тимея" Платона, придавая проекту дополнительный оттенок мистицизма.

Основополагающий греческий философ, писавший около 360 года до н.э., сопоставил пять платоновых твердых тел с пятью предполагаемыми элементами: землей, воздухом, огнем, водой и звездным веществом.

По провидению, удаче или по обоюдному согласию, Платон предложил кубы, как наиболее удобную для Земли форму.

Но они продолжали находить в природе усредненные кубоиды, плюс несколько некубоидов, которые можно было объяснить с помощью тех же теорий. В итоге они создали новую математическую основу: описательный язык для выражения того, как все вещи распадаются на части. Когда их работа была опубликована в начале этого года, она была озаглавлена как особенно эзотерический роман о Гарри Поттере: "Куб Платона и естественная геометрия фрагментации".

Несколько геофизиков, с которыми связался Quanta, говорят, что эта же математическая основа может помочь в решении таких проблем, как понимание эрозии трещин на скалах или предотвращение опасных горных обвалов.

"Это очень, очень интересно", - сказал геоморфолог из Эдинбургского университета Микаэль Аттал, один из двух ученых, рецензировавших работу перед публикацией. Другой рецензент, геофизик из Вандербильта Дэвид Фурбиш, сказал: "Подобная статья заставляет меня задуматься: Могу ли я как-то использовать эти идеи?".

Задолго до приезда в Филадельфию у Домокоса были более безобидные математические вопросы.

Предположим, вы разбиваете что-то на множество кусочков. Теперь у вас есть мозаика: коллекция форм, которые можно сложить вместе без накладок и зазоров, как пол древнеримской бани. Предположим также, что все эти формы выпуклые, без углублений.

Сначала Домокос хотел выяснить, может ли геометрия предсказать, какие формы в среднем будут составлять такую мозаику. Затем он хотел иметь возможность описать все другие возможные коллекции фигур, которые можно найти.

В двух измерениях вы можете попробовать это сделать, ничего не разбивая. Возьмите лист бумаги. Сделайте произвольный срез, который разделит лист на две части. Затем сделайте еще один случайный срез через каждый из этих двух многоугольников. Повторите этот случайный процесс еще несколько раз. Затем подсчитайте и усредните количество вершин на всех кусочках бумаги.

Для студента, изучающего геометрию, предсказать ответ не так уж сложно. "Спорим на ящик пива, что я смогу заставить вас вывести эту формулу в течение двух часов", - сказал Домокос. В фигуре должно быть четыре вершины и четыре стороны, что в среднем дает прямоугольник.

Вы также можете рассмотреть ту же проблему в трех измерениях. Около 50 лет назад российский физик-ядерщик, диссидент и лауреат Нобелевской премии мира Андрей Дмитриевич Сахаров задался такой же проблемой, когда рубил со своей женой кочан капусты. Сколько вершин в среднем должно быть у капусты? Сахаров передал задачу легендарному советскому математику Владимиру Игоревичу Арнольду и его ученику. Но их усилия по ее решению были неполными и в значительной степени забыты.

Не зная об этой работе, Домокос написал доказательство, которое указывало на кубики в качестве ответа. Однако ему хотелось перепроверить, и он подозревал, что если ответ на ту же задачу уже существует, то он заперт в непостижимом томе немецких математиков Вольфганга Вайля и Рольфа Шнайдера, 80-летнего титана в области геометрии. Домокос - профессиональный математик, но даже ему текст показался пугающим.

"Я нашел человека, который был готов прочитать для меня эту часть книги и перевести ее на человеческий язык", - говорит Домокос. Он нашел теорему для любого числа измерений. Это подтвердило, что кубы действительно являются трехмерным ответом.

Теперь у Домокоса были средние формы, получаемые при разбиении плоской поверхности или трехмерного блока. Но затем возникла более важная задача. Домокос понял, что он также может разработать математическое описание не только средних форм, но и потенциальных: Какие коллекции форм вообще математически возможны, когда что-то распадается?

Помните, что формы, образующиеся после того, как что-то разваливается, представляют собой мозаику. Они подходят друг к другу без перекрытий и зазоров. Эти разрезанные прямоугольники, например, могут легко соединиться вместе, чтобы заполнить мозаику в двух измерениях. Так же, как и шестиугольники, в идеализированном случае, который математики называют узором Вороного. Но пятиугольники? Восьмиугольники? Они не складываются в плитку.

Чтобы правильно классифицировать мозаики, Домокос начал описывать их с помощью двух чисел. Первое - это среднее количество вершин в каждой ячейке. Второе - среднее число различных ячеек, разделяющих каждую вершину. Так, например, в мозаике из шестиугольных плиток для ванной каждая ячейка - это шестиугольник, который имеет шесть вершин. И каждую вершину разделяют три шестиугольника.

В мозаике работают только определенные комбинации этих двух параметров, образуя узкую полосу форм, которые могут возникнуть в результате того, что что-то развалилось.

И снова, эту полную полосу было довольно легко найти в двух измерениях, но гораздо труднее в трех. Кубы, конечно, хорошо складываются в 3D, но и другие комбинации форм, включая те, которые образуют 3D-версию узора Вороного, тоже.

Чтобы задача оставалась выполнимой, Домокос ограничился мозаиками с упорядоченными выпуклыми ячейками, имеющими одинаковые вершины. В конце концов, он и математик Жолт Ланги разработали новую гипотезу, которая набросала кривую всех возможных трехмерных мозаик, подобных этой.

Они опубликовали ее в журнале Experimental Mathematics, и "затем я отправил все это Рольфу Шнайдеру, который, конечно же, является богом", - говорит Домокос.

"Я спросил его, хочет ли он, чтобы я объяснил, как я получил эту догадку, но он заверил меня, что знает", - сказал Домокос, смеясь. "Это значило в сто раз больше, чем то, что меня приняли в каком-либо журнале".

Что еще более важно, у Домокоса теперь была основа. Математика предложила способ классифицировать все узоры, на которые могут разбиваться поверхности и блоки. Геометрия также предсказала, что если произвольно разбить плоскую поверхность на фрагменты, то она распадется на грубые прямоугольники, а если сделать то же самое в трех измерениях, то получатся грубые кубы.

Но чтобы все это имело значение для кого-то, кроме нескольких математиков, Домокос должен был доказать, что эти же правила проявляются в реальном мире.

От геометрии к геологии

К тому времени, когда Домокос проезжал через Филадельфию в 2016 году, он уже добился некоторого прогресса в решении проблемы реального мира. Он и его коллеги из Будапештского университета технологии и экономики собрали осколки доломита, выветрившегося из скалы на горе Хармашатаргей в Будапеште.

В течение нескольких дней лаборант, не имеющий никаких предпосылок о всеобщем заговоре против кубов, кропотливо считал грани и вершины на сотнях зерен. В среднем? Шесть граней, восемь вершин. Работая с Яношем Тёрёком, специалистом по компьютерному моделированию, и Ференцем Куном, экспертом по физике фрагментации, Домокос обнаружил, что средние значения кубовидных граней проявляются и в таких породах, как гипс и известняк.

Получив математические выкладки и первые физические доказательства, Домокос изложил свою идею ошеломленному Джеролмаку. "Каким-то образом он произнес заклинание, и все остальное на мгновение исчезло", - сказал Джеролмак.

Их союз был хорошо знаком. Много лет назад Домокос прославился, доказав существование гёмбёка - диковинной трехмерной формы, которая поворачивается в вертикальное положение, как бы вы ее ни толкали. Чтобы выяснить, существуют ли гёмбёки в природе, он нанял Джеролмака, который помог применить эту концепцию для объяснения округления камешков на Земле и Марсе. Теперь Домокос снова просил помощи в переводе возвышенных математических концепций в буквальный камень.

Два человека остановились на новом плане. Чтобы доказать, что платоновские кубы действительно существуют в природе, им нужно было показать нечто большее, чем просто случайное совпадение геометрии и нескольких горстей горных пород. Им нужно было рассмотреть все горные породы, а затем набросать убедительную теорию того, как абстрактная математика может просочиться через запутанную геофизику в еще более запутанную реальность.

Сначала "казалось, что все работает", - говорит Джеролмак. Математика Домокоса предсказала, что осколки горных пород должны в среднем иметь форму кубов. Все большее число реальных осколков горных пород, казалось, с радостью подчинялись этому. Но вскоре Джеролмак понял, что для доказательства теории придется столкнуться и с нарушением правил.

В конце концов, та же геометрия давала словарь для описания множества других мозаичных узоров, которые могут существовать как в двух, так и в трех измерениях. Джеролмак мог представить себе несколько реальных трещиноватых скал, которые совсем не похожи на прямоугольники или кубы, но все же могут быть отнесены к этому большему пространству.

Возможно, эти примеры полностью погубят теорию кубического мира. Более перспективно то, что, возможно, они будут возникать только в особых обстоятельствах и нести в себе отдельные уроки для геологов. Я сказал: "Я знаю, что это работает не везде, и мне нужно знать, почему", - сказал Джеролмак.

В течение следующих нескольких лет, работая по обе стороны Атлантики, Джеролмак и остальные члены команды начали определять, где реальные примеры разрушенных пород попадают в рамки Домокоса. Когда команда исследовала поверхностные системы, которые, по сути, являются двумерными - трещины вечной мерзлоты на Аляске, обнажения доломита и открытые трещины гранитного блока - они обнаружили многоугольники с четырьмя сторонами и четырьмя вершинами, точно такие же, как нарезанный лист бумаги. Каждый из этих геологических случаев, казалось, возникал там, где горные породы просто раскалывались. Здесь предсказания Домокоса оправдались.

Между тем, другой тип трещиноватых плит оказался тем, на что надеялся Джеролмак: исключением, имеющим свою собственную историю. Грязевые пласты, которые высыхают, трескаются, намокают, заживают, а затем снова трескаются, имеют ячейки со средними шестью сторонами и шестью вершинами, следуя примерно шестиугольной схеме Вороного. Скалы, образовавшиеся из остывающей лавы, которая застывает вниз от поверхности, могут иметь похожий вид.

Примечательно, что эти системы формировались, как правило, при другом типе напряжения - когда силы тянули камень наружу, а не вдавливали его внутрь. Геометрия раскрыла геологию. И Джеролмак с Домокосом решили, что этот рисунок Вороного, даже если он относительно редок, может встречаться и в гораздо больших масштабах, чем они считали ранее.

Подсчет коры

В середине проекта команда встретилась в Будапеште и провела три дня в бешеном темпе, пытаясь включить в проект больше естественных примеров. Вскоре Джеролмак нашел на своем компьютере новую схему: мозаику того, как тектонические плиты Земли подходят друг к другу. Плиты ограничены литосферой, почти двухмерной оболочкой на поверхности планеты. Узор показался знакомым, и Джеролмак позвал остальных. "Мы были просто в восторге", - сказал он.

На глаз пластины выглядели так, как будто они соответствуют схеме Вороного, а не прямоугольной. Затем команда посчитала. В идеальной мозаике Вороного из шестиугольников на плоской плоскости каждая ячейка имела бы шесть вершин. Фактические тектонические плиты имеют в среднем 5,77 вершин.

Для геофизика это было достаточно близко, чтобы радоваться. Для математика - не очень. "У Дага было хорошее настроение. Он работал как проклятый", - говорит Домокос. "У меня было подавленное настроение на следующий день, потому что я думал только о разрыве".

Домокос пошел домой на ночь, разница все еще грызла его. Он снова записал цифры. И тут его осенило. Мозаика из шестиугольников может покрыть плоскость. Но Земля не является плоской плоскостью, по крайней мере, за пределами некоторых уголков YouTube. Представьте себе футбольный мяч, покрытый как шестиугольниками, так и пятиугольниками. Домокос подсчитал цифры для поверхности сферы и обнаружил, что на земном шаре ячейки мозаики Вороного должны иметь в среднем 5,77 вершин.

Эта идея может помочь исследователям ответить на главный открытый вопрос геофизики: как сформировались тектонические плиты Земли? По одной из версий, плиты являются побочным продуктом бурлящих конвективных ячеек глубоко в мантии. Но противоположный лагерь считает, что земная кора - это отдельная система, которая расширяется, становится хрупкой и раскалывается. Наблюдаемый рисунок Вороного из плит, напоминающий гораздо меньшие грязевые пласты, может поддержать второй аргумент, сказал Джеролмак. "Это также заставило меня понять, насколько важной была эта статья", - сказал Аттал. "Это действительно феноменально".

Разоблачающий разрыв

Между тем, в трех измерениях исключения из правила кубоида встречались достаточно редко. И они тоже могут быть получены путем моделирования необычных, тянущих наружу сил. Одно из характерных некубических скальных образований находится на побережье Северной Ирландии, где волны бьются о десятки тысяч базальтовых колонн. На ирландском языке это Клочан-на-фомхорах, ступени расы сверхъестественных существ; английское название - Giant's Causeway.

Очень важно, что эти колонны и другие подобные вулканические скальные образования имеют шестигранную форму. Но моделирование Тёрёка показало, что мозаики, похожие на Giant's Causeway, представляют собой трехмерные структуры, которые просто выросли из двухмерной основы Вороного, образовавшейся при охлаждении вулканической породы.

Козуэй Гигантов в Северной Ирландии.

Уменьшая масштаб, команда утверждает, что большинство реальных мозаик из трещиноватой породы можно классифицировать, используя только платоновские прямоугольники, двумерные узоры Вороного, а затем - в подавляющем большинстве случаев - платоновские кубы в трех измерениях. Каждый из этих узоров может рассказать геологическую историю. И да, с соответствующими оговорками, можно действительно сказать, что мир состоит из кубов.

"Они проявили должное усердие, проверяя свои смоделированные формы на соответствие реальности", - говорит Марта-Кэри Эппес, ученый-землевед из Университета Северной Каролины в Шарлотте. "Мой первоначальный скептицизм был развеян".

"Математика говорит нам, что когда мы начинаем раскалывать горные породы, как бы мы это ни делали, случайным или детерминированным образом, существует только определенный набор возможностей", - сказал Фёрбиш. "Насколько это умно?"

В частности, возможно, вы могли бы взять реальный участок с трещинами, подсчитать такие вещи, как вершины и грани, а затем получить возможность сделать вывод о геологических обстоятельствах.

"У нас есть места, где есть данные, которые мы можем осмыслить таким образом", - сказал Роман ДиБиасе, геоморфолог из Университета штата Пенсильвания. "Это было бы действительно крутым результатом, если бы можно было различить вещи более тонкие, чем Козуэй Гигантов, и ударить молотком по камню и посмотреть, как выглядят осколки".

Что касается Джеролмака, то после того, как он сначала почувствовал себя неловко из-за возможной случайной связи с Платоном, он принял ее. В конце концов, греческий философ предположил, что идеальные геометрические формы являются центральными для понимания Вселенной, но всегда находятся вне поля зрения, видимые только в виде искаженных теней.

"Это буквально самый прямой пример, который мы можем придумать. Статистическое среднее всех этих наблюдений - это куб", - сказал Джеролмак.