Модель Изинга описала узор на спине глазчатой ящерицы

@N 1

Участок кожи на спине глазчатой ящерицы (сверху) и эволюция узора на нем во времени (снизу)

Szabolcs Zakany, Stanislav Smirnov and Michel Milinkovitch / Physical Review Letters, 2022

Ученые применили модель Изинга (которая определяет распределение вероятностей в системе спинов через энергию их взаимодействия друг с другом и со внешним полем) для описания узора на коже глазчатой ящерицы Timon lepidus. Как сообщается в статье, опубликованной в Physical Review Letters, исследователям удалось подобрать два свободных параметра этой модели так, чтобы результат ее предсказаний согласовывался с реально наблюдаемыми узорами и прогнозами прежней модели на основе клеточных автоматов (содержащей 14 свободных параметров).

Считается, что в основе формирования узоров на коже животных на микроскопическом уровне лежат реакционно-диффузные процессы — такие, в которых химические вещества одновременно реагируют друг с другом и диффундируют в среде (тканях животного). Математические основы такого описания заложил Алан Тьюринг еще в 1952 году.

Тем не менее, когда речь идет о задаче описать свойства узора на коже только в макроскопическом масштабе, такой детальный подход может быть избыточен. Так, в 2017 году исследователи на примере ящерицы Timon lepidusпоказали, что его можно заменить упрощенными вычислениями на более крупном масштабе — в рамках эффективной модели клеточных автоматов.

Суть этого подхода в том, что каждая «клетка» — участок кожи, — имеет конечное число доступных состояний (в простейшем случае — всего два, как в игре «Жизнь») — цветов. В ходе пошаговой эволюции системы каждая «клетка» отслеживает состояние своих соседей и, в зависимости от этого, либо сохраняет состояние на следующем шаге, либо меняет его (наблюдения за взрослеющими особями ящериц показали, что подобное происходит и с окраской чешуек на их коже). В такой алгоритм достаточно заложить начальное распределение состояний и правила переходов в другие состояния — однако появляется свыше десятка свободных параметров, что мотивирует искать еще более простые подходы.

Пример работы клеточных автоматов — игра «Жизнь». Каждый пиксель на изображении — клетка, которая оживает либо продолжает жить (окрашивается цветом), если среди восьми ее соседей оптимальное число живых клеток. Если же живых соседей слишком мало или слишком много, клетка гибнет (гаснет).

Wikimedia Commons

Исследователи из России и Швейцарии под руководством Мишеля Милинковича (Michel Milinkovitch) из Женевского Университета решили упростить описание узора на коже Timon lepidus, прибегнув к модели Изинга из статистической физики. Первоначально эта модель математически описывала намагничивание материалов, но позже нашла применение и за пределами физики: в химии, биологии, и даже социологии и экономике.

В контексте намагничивания модель Изинга описывает взаимодействие узлов кристаллической решетки материала, каждому из которых приписывается число (знак проекции спина на выделенную ось). При этом спиновые состояния взаимодействуют друг с другом (каждый узел — только с соседними) и со внешним полем: то есть в простейшем случае (когда решетка симметричная) в такой модели всего два внутренних параметра — энергия взаимодействия любых двух соседних узлов и энергия взаимодействия любого узла со внешним полем. Вероятности микросостояний в такой системе описываются распределением Гиббса: с увеличением суммарной энергии всей решетки вероятность соответствующей конфигурации экспоненциально уменьшается, причем тем более резко, чем выше температура.

Применяя модель Изинга к описанию узора на коже ящерицы, авторы воспользовались простой аналогией: узлы кристаллической решетки заменили на чешуйки в виде правильных шестиугольников (сохраняя таким образом симметрию системы — центры чешуек образовали правильную треугольную решетку), а две возможные проекции спина — на два цвета (зеленый и черный). При этом исследователи оставили неизменным характер эффективного «взаимодействия» между цветами (теперь уже чисто условного и не имеющего прямого отношения к магнетизму): чешуйки меняли цвета по тем же вероятностным законам, по которым меняют ориентацию спины в оригинальной модели Изинга.

Для простоты авторы моделировали сравнительно плоский участок кожи на спине ящерицы, и, пренебрегая краевыми эффектами (где происходит соприкосновения с головой и конечностями), установили в симуляции периодические граничные условия. Затем ученые проследили за эволюцией системы и подобрали параметры модели (эффективные константы взаимодействия чешуек друг с другом и «внешним полем») так, чтобы частота обнаружения данного количества соседей того же цвета в среднем по чешуйкам была максимально близка к той частоте, которую прогнозирует модель с клеточными автоматами (которая, в свою очередь, отвечает наблюдениям за реальными ящерицами).

Оказалось, что если чешуя ведет себя как антиферромагнитная решетка (то есть более вероятными являются состояния, в которых у соседних чешуек разные цвета) и «внешнее поле» отдает предпочтение черным чешуйкам (то есть их появление более вероятно, чем зеленых, при прочих равных условиях), то можно подобрать константы так, чтобы прогноз модели Изинга практически совпадал с результатами, которые выдает модель с клеточными автоматами — но число свободных параметров при этом в 7 раз меньше.

Результаты симуляции узора с помощью клеточных автоматов (сверху) и модели Изинга (снизу)

Szabolcs Zakany, Stanislav Smirnov and Michel Milinkovitch / Physical Review Letters, 2022

Таким образом, с точки зрения узора важным становятся не столько локальные перекрашивания чешуек, сколько глобальное качество всего рисунка в целом — которое исследователи количественно описали через эффективную энергию. Авторы отмечают, что такой результат хотя и позволяет описывать узоры на коже ящериц гораздо проще, с теоретической точки зрения скорее открывает новые проблемы. Не вполне ясно, как интерпретировать условную энергию взаимодействия, и как именно микроскопические процессы, которые контролируют окраску чешуи, конвертируются в поведение, описываемое моделью Изинга — эти вопросы предстоит решить в будущих исследованиях.

Ранее мы рассказывали о том, как модель Изинга помогла физикам обучить алгоритм поиска распадов бозона Хиггса, и о том, откуда берутся цвета и узоры на кошачьей шкуре.

Николай Мартыненко