Как математики доказывали, что демократия невозможна

Дональд Трамп не оставляет попыток доказать, что именно он стал победителем прошедших в начале ноября президентских выборов. Его оппонент, Джо Байден, уверяет сограждан: «Никто не сможет отнять у нас нашу демократию». И напоминает, что демократия «иногда бывает очень запутанная», нужно «иметь терпение» и «продолжать верить». Вполне резонно для демократов.

Республиканцы с неменьшим резоном могли бы апеллировать к отцам-основателям. Жарким летним днем 1787 года те долго обсуждали за закрытыми дверями будущую американскую конституцию. Когда наконец они вышли к народу, какая-то дама буквально набросилась на Бенджамина Франклина: «Доктор, что вы уготовили нам, республику или монархию?»  «Республику, если вы сумеете ее сохранить», – отвечал Франклин. Демократия еще долго ассоциировалась с якобинской диктатурой и властью плебса. Президент Трумен, комментируя в 1947 году свою доктрину, подчеркивал: «Слава Богу, у нас не демократия, а республика». Он же метко заметил: «Бюрократ – это демократ, занимающий должность, на которую претендует республиканец».

А математики давно в курсе, что плюралистическая демократия вообще невозможна. Выбор большинства кажется простым и разумным решением. На деле всё не так просто. Особенно когда приходится выбирать из нескольких вариантов и ни один не получает абсолютное большинство. Может статься, что в итоге победит самый непопулярный кандидат.

Первым, кто системно подошел к этому вопросу, был французский инженер Жан-Шарль шевалье де Борда. После Великой французской революции именно он возглавил комиссию, установившую метрическую систему. А еще в 1770-м, ровно 250 лет назад, Борда предложил систему голосования, которая до сих пор остается довольно популярной. Каждый выборщик ранжирует кандидатов в порядке убывания своих предпочтений. В зависимости от занятого места кандидаты получают определенное число баллов. Побеждает тот, кто наберет больше всего баллов у всех выборщиков. Слегка модифицированный вариант этой схемы используется сейчас при голосовании на «Евровидении».

У этого метода есть свои недостатки. Могут возникать ситуации, когда несколько кандидатов набирают одинаковую сумму баллов. Но что гораздо хуже – возможно манипулирование выборами за счет добавления фиктивных кандидатов. В 1785 году маркиз де Кондорсе опубликовал «Рассуждения о применении анализа к оценке выборов большинством голосов». Он предложил сравнивать кандидатов попарно. Побеждает тот, кто выиграет больше попарных сравнений. Если кандидат выигрывает все попарные сравнения, он называется «победителем по Кондорсе» и становится финальным победителем.

Борда одобрил план Кондорсе. Однако выяснилось, что и это не панацея. Например, на результат может влиять порядок сравнения. А предпочтения групп избирателей могут вступать в противоречие. Один из парадоксов коллективного выбора возникает, например, при постатейном голосовании закона: каждая статья принимается большинством голосов, а закон в целом отвергается. Или, наоборот, коллективно принимается решение, которое на индивидуальном уровне никто не поддерживает.

В середине XIX века английский юрист Томас Хар предложил систему единственного передаваемого голоса. Это вариант игры на вылет. Кандидат, набравший наименьшее число голосов, выбывает, а остальные продвигаются наверх в таблице предпочтений. Так повторяется до тех пор, пока не останется единственный победитель. Друг Хара, философ Джон Стюарт Милль считал эту схему идеальной. В «Размышлении о представительном правлении» он писал, что достоинства системы «позволяют поставить план господина Хара в один ряд с самыми великими достижениями в теории и практике управления». Однако и у этой схемы есть свои недостатки, хотя в англоязычных странах она до сих пор кое-где используется.

Уже в XX веке психолог Клайд Кумбс предложит очень похожий метод: предпочтения как бы переворачиваются, и выбывание начинается с тех, кто набрал больше всего голосов против. Результат может отличаться от голосования по Хару. И вообще, при прочих равных различные методы могут давать разных победителей. Льюис Кэрролл, который был не только автором двух книжек про Алису, но и математиком, писал: «Правила голосования делают выборы больше состязанием кандидатов (в умении их использовать), чем выяснением реальных предпочтений избирателей». Понадобилось почти столетие, чтобы разобраться с этим. Не решить проблему, но доказать, что универсального решения не существует.

В 1940 году выдающийся математик Курт Гёдель перебрался в Америку. Он не был евреем, но после аншлюса предпочел покинуть Австрию. Еще в молодости Гёдель доказал, что невозможно построить непротиворечивую математику – царица наук оказалась противоречивой по своей сути. Гёдель получил должность в Институте перспективных исследований в Принстоне. Там тогда работали Оппенгеймер, фон Нейман, Эйнштейн, с которым Гёдель очень сдружился. Через несколько лет Гёдель подал на американское гражданство. Поручителями были Эйнштейн и Оскар Моргенштерн – один из основоположников теории игр, чья совместная с фон Нейманом «Теория игр и экономическое поведение» (1944) стала настоящей классикой. Гёдель серьезно подошел к делу и глубоко погрузился в историю и детали политической системы США. Накануне слушания по своему делу он позвонил Моргенштерну и сообщил, что обнаружил в американской конституции противоречия, которые позволяют совершенно законно установить в стране диктатуру, что он и собирается объяснить суду. Моргенштерн среди ночи бросился звонить Эйнштейну. Уговорить Гёделя воспринять заседание как простую формальность оказалось сложной задачей – он был человеком честным и очень принципиальным, к тому же с некоторыми психическими проблемами.

Председательствовал на заседании судья Филипп Форман, который в 1940-м рассматривал вопрос о гражданстве самого Эйнштейна. Сначала он поинтересовался у поручителей, считают ли они, что Гёдель будет достойным гражданином Америки. Выслушав подробные объяснения, в том числе краткий экскурс в кризис оснований математики и значение работ Гёделя, Форман обратился к нему.

– Откуда вы, мистер Гёдель?
– Я из Австрии.
– Какое правление у вас в Австрии?
– Республика. Но конституция ее такова, что она превратилась в диктатуру.
– Какой кошмар! Слава Богу, в нашей стране такого быть не может.
– Нет, может! И сейчас я вам это докажу.

Моргенштерн с Эйнштейном пришли в ужас. К счастью, судья успокоил изрядно взволнованного Гёделя, уточнил некоторые технические детали и благополучно решил вопрос о гражданстве. Неизвестно, что именно имел в виду Гёдель, но можно не сомневаться, что строгое и изящное доказательство у него было.

А теорему о неизбежности диктатора (ее также называют «теоремой о невозможности демократии») через несколько лет докажет американский экономист Кеннет Эрроу. Он пытался построить честную избирательную систему, которая удовлетворяла бы некоторым разумным требованиям. «Я начал с конкретных примеров. Я знал, что с ними есть определенные проблемы… Я строил другой пример, …который, казалось бы, решал эту проблему. Но с ним тоже было не все в порядке… Что за напасть! Что бы я ни делал, я не мог найти подходящий метод… Через несколько дней я стал склоняться к тому, что, возможно, метода, который удовлетворял бы всем разумным и целесообразным условиям, просто не существует».

Суть проблемы в том, что, если более двух выборщиков выбирают из трех или более кандидатов, мы получаем либо манипуляцию, когда альтернативы не являются независимыми, либо «диктатора», чей голос решает исход дела, независимо от предпочтений других участников. В середине 1970-х Алан Гиббард и Марк Саттеруэйт докажут еще более сильное утверждение, что в конце концов диктатура все равно неизбежна.

В 1972-м Эрроу получил на пару с Джоном Хиксом Нобелевскую премию по экономике за «новаторский вклад в теорию общего экономического равновесия и теорию благосостояния». За теорию игр, которая в значительной мере формирует наше понимание политических процессов, присуждено полтора десятка Нобелевских премий. В том числе четыре – ученикам Эрроу; не всякий научный руководитель может похвастаться таким результатом.

А вот демократии похвастаться нечем. Реальные выборы не могут быть одновременно честными и справедливыми. Если с честностью еще можно что-то решить, то со справедливостью совсем плохо. Никакой дизайн избирательной системы не удовлетворяет набору разумных критериев. Или сами эти критерии никак нельзя признать демократичными. Вам не нравится «диктатор»? Получите «монарха» – кандидата, который становится победителем вообще независимо от того, кто и как голосует.

Отцы-основатели США это хорошо понимали. Ни в «Декларации независимости», ни в Конституции, нигде не говорится о демократии. А Артур Ли, писавший под псевдонимом Цинциннат в честь Луция Квинкция Цинцинната – яркого образчика республиканских добродетелей, решительного противника плебейского популизма и дважды римского диктатора, в своем 64-м «Послании» не без сожаления напишет: «Демократия, беспомощная и обкорнанная, так и останется меланхолическим монументом народного бессилия».

Читать полностью(время чтения 5 минут )